Nein, du kannst DoH auch systemweit nutzen. Dafür musst du aber höchstwahrscheinlich einen anderen DNS-Resolver (Stub-Resolver) installieren, z. B. DNS-over-HTTPS.
Die resolv.conf legt den zu verwendenden Nameserver nur auf deinem Rechner fest. Die Fritzbox bleibt davon unberührt. Je nachdem ob du Dienste wie den NetworkManager am Laufen hast, solltest du die resolv.conf nicht direkt bearbeiten.
Nein, sofern dein Programm die Systemroutinen zur DNS-Auflösung nutzt.
Wird jedoch deine resolv.conf von einem Dienst wie dem NetworkManager verwaltet, kann in die resolv.conf der per DHCP mitgeteilte DNS-Server eingetragen werden (die von dir verlinkte Fritzbox-Seite nennt es „lokaler DNS-Server“; standardmäßig ist es die Fritzbox selbst).
Nein, es sind die hier aufgeführten DNS-Server.
DNS over TLS (kurz DoT) ist ein weiteres Protokoll für verschlüsselte DNS-Abfragen, das auf Port 853 läuft. Wenn du eine verschlüsselte Namensauflösung für alle Geräte in deinem Heimnetz, die die Fritzbox als DNS-Server nutzen, haben möchtest, dann ist das schon sinnvoll. Du musst es dann nicht für jedes Gerät einzeln einrichten.
Nein, die Fritzbox kann kein DNS over HTTPS. In der Empfehlungsecke gibt es einige Vorschläge für DoT-Server.
Richtig, HTTPS nutzt zur Verschlüsselung des HTTP-Protokolls auch das TLS-Protokoll. Jedoch läuft DoH (wie HTTPS) auf Port 443 und ist damit nicht ohne Weiteres vom Aufruf eine HTTPS-Seite zu unterscheiden. Im Gegensatz dazu nutzt DoT das TLS-Protokoll direkt und läuft auf Port 853.
Es gibt hier im Forum auch ein Tutorial zur Fritzbox-Konfiguration.