Du könntest z.B. so vorgehen.
Wenn du in Firefox unter about:profiles deine Profile angelegt hast, und dieses was du als Standard haben möchtest markiert ist, nimmst du deine Desktop-Verknüpfung und kopierst sie einfach nochmal auf den Desktop. Du änderst dann in den Eigenschaften den Eintrag indem du ein -P neues ergänzt (wenn du Bspw. Ein Profil von denen du angelegt hast als neues bezeichnet hast)
Unter Linux sieht das z.B. so aus
Bei dem Profil wo du es nicht haben möchtest erstellst du eben keine Desktop-Verknüpfung 